Question

（2013•营口二模）考察下列式子：

1=0+1， 2+3+4=1+8， 5+6+7+8+9=8+27， 10+11+12+13+14+15+16=27+64，

…；请你做出一般性的猜想，并且证明你猜想的结论．

Answer 1

分析：由图表可猜想：第n行的连续的2n-1个数的和为：（（n-1）²+1）+（（n-1）²+2）+…+（（n-1）²+2n-1）=（n-1）³+n³．

解答：解：∵等式的左边第一行一个数是1，为1²；第二行三个数，为2，3，4，最后一个数是2²；第三行五个数，为5，6，7，8，9，最后一个数是3²，…
∴可猜想：第n-1行左端最后一个数是（n-1）²，右端为：（n-2³+（n-1）³，
∴第n行左端第一个数是（n-1）²+1，有连续的2n-1个数相加，等式右端为：（n-1）³+n³，
即：（（n-1）²+1）+（（n-1）²+2）+…+（（n-1）²+2n-1）=（n-1）³+n³．
证明：①当n=1时，左端=1=右端，等式成立；
②假设当n=k时等式成立，即（（k-1）²+1）+（（k-1）²+2）+…+（（k-1）²+2k-1）=（k-1）³+k³，
则当n=k+1时，
（[（k+1）-1]²+1）+（[（k+1）-1]²+2）+…+（[（k+1）-1]²+2k-1）+（[（k+1）-1]²+2k）+（[（k+1）-1]²+2k+1）
=[（（k-1）²+1）+2（k-1）+1]+[（（k-1）²+2）+2（k-1）+1]+…+[（（k-1）²+2k-1）+2（k-1）+1]+（[（k+1）-1]²+2k）+（[（k+1）-1]²+2k+1）
=（（k-1）²+1）+（（k-1）²+2）+…+（（k-1）²+2k-1）+[2（k-1）+1]（2k-1）+（[（k+1）-1]²+2k）+（[（k+1）-1]²+2k+1）
=（k-1）³+k³+（2k-1）（2k-1）+k²+2k+k²+2k+1
=k³+[（k-1）³+6k²-4k+4k+2]
=k³+（k³-3k²+3k-1+6k²-4k+4k+2）
=k³+（k³+3k²+3k+1）
=k³+（k+1）³
=[（k+1）-1]³+（k+1）³．
即n=k+1时，等式也成立．
综合①②可知，对任意n∈N^*，（（n-1）²+1）+（（n-1）²+2）+…+（（n-1）²+2n-1）=（n-1）³+n³成立．

点评：本题考查数学归纳法，考查观察、猜想能力及论证推理能力，猜想出结论是关键，属于难题．