Question

（2013•营口二模）（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC=

30°

，线段AE的长为

3

．

Answer 1

分析：利用直径所对的圆周角是直角、弦切角定理、切割线定理、含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得出．

解答：解：①∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°；
∵AB=6，BC=3，∴cos∠ABC=

BC

AB

=

1

2

，
∵∠ABC是锐角，∴∠ABC=60°．
由弦切角定理可得∠ACD=∠ABC=60°，
∵在Rt△ACD中，∴∠DAC=30°．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=

62-32

=3

3

．
在Rt△ACD中，DC=ACcos60°=

3 3

2

，由勾股定理得AD=

(3 3 )2-( 3 3 2 )2

=

9

2

，
由切割线定理得DC²=DE•DA，
∴DE=

( 3 3 2 )2

9 2

=

3

2

，∴AE=AD-DE=

9

2

-

3

2

=3．
故答案为30°，3．

点评：熟练掌握直径所对的圆周角是直角、弦切角定理、切割线定理、含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．