题目内容
（2013•营口二模）若函数f（x）=x3-3x+m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
分析：已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可．
解答：解：由函数f（x）=x3-3x+m有三个不同的零点，
则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0．
由f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x1=1，x2=-1，
所以函数f（x）的两个极值点为 x1=1，x2=-1．
由于x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0； x∈（-1，1）时，f′（x）＜0； x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数的极小值f（1）=m-2和极大值f（-1）=m+2．
因为函数f（x）=x3-3x+m有三个不同的零点，
所以
，解之得-2＜m＜2．
故选D．
则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0．
由f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x1=1，x2=-1，
所以函数f（x）的两个极值点为 x1=1，x2=-1．
由于x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0； x∈（-1，1）时，f′（x）＜0； x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数的极小值f（1）=m-2和极大值f（-1）=m+2．
因为函数f（x）=x3-3x+m有三个不同的零点，
所以
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故选D．
点评：本题是中档题，考查函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想和计算能力．
练习册系列答案
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