题目内容
(本小题满分13分)
已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线与抛物线分别相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出抛物线的标准方程;
(Ⅱ)若,求直线的方程;
(Ⅲ)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上,直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长的最小值.
已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线与抛物线分别相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出抛物线的标准方程;
(Ⅱ)若,求直线的方程;
(Ⅲ)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上,直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长的最小值.
(1)(2)或(3)
(Ⅰ)由题意,抛物线的方程为:, …………2分
(Ⅱ)设直线的方程为:.
联立,消去,得, ……………3分
显然,设,
则 ①
② …………………4分
又,所以 ③ …………………5分
由①②③消去,得 ,
故直线的方程为或 . …………………6分
(Ⅲ)设,则中点为,因为两点关于直线对称,
所以,即,解之得, …………………8分
将其代入抛物线方程,得:
,所以,. ………………………9分
联立,消去,得:
. ………………………10分
由,得
,即, …………………12分
将,代入上式并化简,得
,所以,即,
因此,椭圆长轴长的最小值为. ………………………13分
(Ⅱ)设直线的方程为:.
联立,消去,得, ……………3分
显然,设,
则 ①
② …………………4分
又,所以 ③ …………………5分
由①②③消去,得 ,
故直线的方程为或 . …………………6分
(Ⅲ)设,则中点为,因为两点关于直线对称,
所以,即,解之得, …………………8分
将其代入抛物线方程,得:
,所以,. ………………………9分
联立,消去,得:
. ………………………10分
由,得
,即, …………………12分
将,代入上式并化简,得
,所以,即,
因此,椭圆长轴长的最小值为. ………………………13分
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