题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，平面
平面，
为
的中点，
，
.
（1）求二面角
的大小；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）
.（2）
【解析】
（1）取
中点
，设
相交于
，连接
，
.通过等腰三角形的性质、面面垂直的性质定理，以及正方形的性质，证得
,由此以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面
和平面
的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得二面角的大小.（2）利用直线
的方向向量和平面
的法向量，计算出线面角的正弦值.
（1）取中点，设相交于，连接，.
因为
，所以
.
又因为平面
平面
，且
平面
，所以
平面.
因为
平面，所以
.
因为是正方形，所以
.
如图建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
.
设平面的法向量为
，则
，即
.
令
，则
，
.于是
.
平面的法向量为
，所以
.
由题知二面角
为锐角，所以它的大小为.
（2）由题意知
，
，
.
设直线与平面所成角为
，
则
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【题目】某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加.现从所有参赛学生中随机抽取
人的成绩进行统计，发现这名学生中本次预选赛成绩优秀的男、女生人数之比为
，成绩一般的男、女生人数之比为
.已知从这名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是
（1）请将下表补充完整，并判断是否有
的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？
成绩优秀 | 成绩一般 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
|
（2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取
人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为
，求随机变量的分布列及数学期望.
参考公式：
，其中
；
临界值表供参考：
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【题目】为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：
年龄 |
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频数 | 10 | 20 | 30 | 20 | 10 | 10 |
支持“新农村建设” | 3 | 11 | 26 | 12 | 6 | 2 |
（1）根据上述统计数据填下面的
列联表，并判断是否有
的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；
年龄低于50岁的人数 | 年龄不低于50岁的人数 | 合计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众（假设年龄均在20周岁至80周岁内），给予适当的奖励.若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为
，试求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
，其中
.
