题目内容
【题目】随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为
，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.
（1）当
时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；
（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.
【答案】（1）
；（2）不会超过预算，理由见解析
【解析】
（1）求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为
,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为
，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为
元，则的可能取值为900，1500.求得
，
，求得其分布列和期望
，对其求导，研究函数的单调性，可得期望的最大值，从而得出结论.
（1）
某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,
某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为
某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为
.
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为元，则的可能取值为900，1500.
，
令
,则
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，在上
单调递减,
的最大值为
,
实施此方案，最高费用为
（万元），
，故不会超过预算.
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