Question

11．（1）解不等式2|x-2|-|x+1|＞3；
（2）设正数a，b，c满足abc=a+b+c，求证：ab+4bc+9ac≥36，并给出等号成立条件．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）先由题意证得$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ac}$=1，再由柯西不等式证得所给的不等式成立．

解答 解：（1）由不等式2|x-2|-|x+1|＞3可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{4-2x-（-x-1）＞3}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{4-2x-（x+1）＞3}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x-4-（x+1）＞3}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-1，解②求得-1≤x＜0，解③求得 x＞8，
综上可得，原不等式的解集为{x|x＜0或 x＞8}．
（2）证明：∵正数a，b，c满足abc=a+b+c，∴$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ac}$=1，
再由柯西不等式可得（ab+4bc+9ac）（$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ac}$ ）≥（1+2+3）²=36，
当且仅当a=2、b=3、c=1时，取等号，
故ab+4bc+9ac≥36成立．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．还考查了柯西不等式的应用，属于中档题．