题目内容
16.如图所示,点P在正六边形ABCDEF上按A→B→C→D→E→F→A的路径运动,其中AB=4,则$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$的取值区间为( )A. | [-2,6] | B. | [-8,24] | C. | [0,4] | D. | [4,6] |
分析 连接AE,可分别以直线AB,AE为x,y轴,建立平面直角坐标系,可得到$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$,设P(x,y),讨论P点在各边的位置,确定P的坐标范围.从而得到数量积范围.
解答 解:连接AE,则AE⊥AB;
∴分别以直线AB,AE为x,y轴,建立如图所示平面直角坐标系:AB=4,设P(x,y),
∴$\overrightarrow{AB}$=(4,0),$\overrightarrow{AP}$=(x,y),
(1)若P点在边AB上时,y=0,0≤x≤4,
∴P(x,0);
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=4x,0≤4x≤16;
(2)若P在边BC上,x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+4,0≤y≤2$\sqrt{3}$,
∴P($\frac{\sqrt{3}}{3}$y+4,y),
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}y$+16;
∴16≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤24;
(3)若P在边CD上,x=6-$\frac{\sqrt{3}}{3}$y,2$\sqrt{3}$≤y$≤4\sqrt{3}$,
∴P(6-$\frac{\sqrt{3}}{3}$y,y);
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=24-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y,
∴8≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤16;
(4)若P在边DE上,0≤x≤4,P(x,y);
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$=4x;
∴0≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤16;
(5)若P在边EF或FA上,-2≤x≤0,P(x,y);
∴-8≤$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$≤0;
∴综上得$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{AB}$的取值区间为[-8,24].
故选B.
点评 本题考查正六边形的性质,以及通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标计算数量积的方法,讨论P点在每一边上时数量积的范围,数量积的坐标运算.
A. | 5 | B. | -5 | C. | -5或5 | D. | 25 |
甲 | 60 | 80 | 70 | 90 | 70 |
乙 | 80 | 60 | 70 | 80 | 75 |
A. | 甲,甲 | B. | 乙,乙 | C. | 甲,乙 | D. | 乙,甲 |
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
A. | 15 | B. | 7 | C. | 8 | D. | 16 |