Question

【题目】已知函数在处取得极值，其中为常数．若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】.

【解析】试题分析: 函数在处取得极值，即， ,列出方程组可求出a,b的值,代入函数求出解析式,对函数求导判断单调性,求出函数的极小值, 且此极小值也是最小值, 要使对任意恒成立，只需小于等于函数的最小值,代入解出c的取值范围即可.

试题解析：

由题意知f(1)＝b－c＝－3－c，因此b＝－3.

对f(x)求导，得

f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3

＝x3(4aln x＋a＋4b)．

由题意知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，

从而f′(x)＝48x3ln x(x>0)．令f′(x)＝0，解得x＝1.

当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；

当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．

所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，

并且此极小值也是最小值．

所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．

整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.

所以c的取值范围为.

点睛: 本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数的极值和最值以及函数的恒成立问题,属于中档题目.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解,注意利用数形结合的数学思想方法.