Question

渔场中鱼群的最大养殖量是ｍ吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量ｙ吨和实际养殖量ｘ吨与空闲率乘积成正比，比例系数为ｋ（ｋ＞０）．
写出ｙ关于ｘ的函数关系式，指出这个函数的定义域；
求鱼群年增长量的最大值；
当鱼群的年增长量达到最大值时，求ｋ的取值范围．

Answer 1

（１）ｙ＝ｋｘ（１－）定义域为{x|０＜ｘ＜ｍ。
（２）鱼群年增长量的最大值为．
（３）０＜ｋ＜２．

解析试题分析：
思路分析：函数应用问题，要注意“审清题意，设出变量，列出关系式，解决数学问题，答”等解题步骤。
（１）注意理解空闲量为ｍ－ｘ吨，空闲率为。
（２）利用二次函数的性质。
（３）特别注意利用“实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量”，建立不等式。
解：（１）因鱼群最大养殖量为ｍ吨，实际养殖量为ｍ吨，则空闲量为（ｍ－ｘ）吨，
空闲率为，依题意，鱼群增长量为ｙ＝ｋｘ（１－），
定义域为{x|０＜ｘ＜ｍ。
（２）当ｘ＝ｍ／２时， 
即鱼群年增长量的最大值为．
（３）由于实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量，有０＜ｘ＋ｙ＜ｍ成立，
即０＜，得－２＜ｋ＜２，但ｋ＞０，０＜ｋ＜２．
考点：函数模型，二次函数的图象和性质。
点评：中档题，函数应用问题，要注意“审清题意，设出变量，列出关系式，解决数学问题，答”等解题步骤。由于是二次函数，处理最值问题时可依二次函数求最值得方法来求，而实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量应是常识，在阅读题意时要得到这个隐含条件．