题目内容

已知二次函数,且不等式的解集为.
(1)方程有两个相等的实根,求的解析式;
(2)的最小值不大于,求实数的取值范围;
(3)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.

(1);(2)实数的取值范围是;(3)详见解析.

解析试题分析:(1)根据不等式的解集为得到为方程的实根,结合韦达定理确定之间的等量关系以及这一条件,然后利用有两个相等的实根得到,从而求出的值,最终得到函数的解析式;(2)在的条件下,利用二次函数的最值公式求二次函数的最小值,然后利用已知条件列有关参数的不等式,进而求解实数;(3)先求出函数的解析式,对首项系数为零与不为零进行两种情况的分类讨论,在首项系数为零的前提下,直接将代入函数解析式,求处对应的零点;在首项系数不为零的前提下,求出
的符号进行三中情况讨论,从而确定函数的零点个数,并求出相应的零点.
试题解析:(1)由于不等式的解集为
即不等式的解集为
为方程的两根,且
由韦达定理得
由于方程有两个相等的实根,即方程有两个相等的实根,

由于,解得
所以
(2)由题意知,,由于,则有
解得,由于,所以,即实数的取值范围是
(3)(※)
①当时,方程为,方程有唯一实根
即函数有唯一零点
②当时,
方程(※)有一解,令
,即
(i)当时,(负根舍去)),
函数有唯一零点
(ii)当

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