Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）当时，与相交于，两点，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)直线的普通方程为，的直角坐标方程为.

(2).

【解析】

试题（1）利用三种方程的转化方法，求 的普通方程和C的直角坐标方程；（2）由（1）可知圆心坐标为C（2，0），半径为2，直线过点A（3，1），CA⊥PQ时，可求|PQ|的最小值．

试题解析：（1）由直线的参数方程（为参数），

消去参数得，，

即直线的普通方程为，

由圆的极坐标方程为，得，

将代入(*)得， ，

即的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数方程代入得，，

，

设两点对应的参数分别为，

则，

所以，

因为，

所以当时，取得最小值.

【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】

解法二：（1）同解法一

（2）由直线的参数方程知，直线过定点，

当直线时，线段长度最小.

此时，，

所以的最小值为.

解法三：

（1）同解法一

（2）圆心到直线的距离，

，

又因为，

所以当时，取得最大值.

又，

所以当时，取得最小值.