题目内容
【题目】椭圆离心率为
,
,
是椭圆的左、右焦点,以
为圆心,
为半径的圆和以
为圆心、
为半径的圆的交点在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的下顶点为
,直线
与椭圆
交于两个不同的点
,是否存在实数
使得以
为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】试题分析:(1)第一问,直接根据已知条件得到关于a,c的方程组解答即可. (2)第二问,先设MN的中点为H,再利用韦达定理得到点H的坐标,再根据求出k的值,最后利用判别式检验.
试题解析:
(1)由题意可得,
解得,
所以,
所以椭圆的方程为;
(2)由题意知,
联立方程,整理得
,
(化简可得
),①
设,则
,
,
设中点为
,
由,知
,
所以点的坐标为
,
因为,所以
,
又直线斜率均存在,所以
.
于是
,
解得,即
,
将代入①,满足
.故存在
使得以
为邻边的平行四边形可以是菱形,
值为
.
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