题目内容

已知
(1)若存在单调递减区间,求实数的取值范围;
(2)若,求证:当时,恒成立;
(3)利用(2)的结论证明:若,则.

(1);(2)证明过程详见试题解析;(3)证明过程详见试题解析.

解析试题分析:(1)当时,. ∵ 有单调减区间,∴有解.分两种情况讨论有解.可得到的取值范围是;(2)此问就是要证明函数上的最大值小于或等于,经过求导讨论单调性得出当时,有最大值,命题得证;(3)利用(2)的结论,将此问的不等关系,转化成与(2)对应的函数关系进行证明.
试题解析:(1)当时,

有单调减区间,∴有解,即
,∴ 有解.
(ⅰ)当时符合题意;
(ⅱ)当时,△,即
的取值范围是.
(2)证明:当时,设
.

讨论的正负得下表:
 
∴当有最大值0.
恒成立.
∴当时,恒成立.
(3)证明:∵

 

 
由(2)有
.
考点:函数与导数;不等式综合.

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