题目内容

【题目】已知函数g(x)=ax2﹣2ax﹣1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求实数k的取值范围.

【答案】
(1)解:g(x)的对称轴为在直线x=1,开口向上,

∴g(x)在区间[2,3]上是增函数,

,解得


(2)解:由(1)可得f(x)=x+ ﹣2,

∴f(2x)=2x+ ﹣2,

∵f(2x)﹣k2x≥0,即

=t,则k≤t2﹣2t+1,

∵x∈[﹣1,1],∴t∈[ ,2],记h(t)=t2﹣2t+1=(t﹣1)2

则h(t)在[ ,2]上先减后增,

∵h( )= ,h(2)=1,

∴h(t)max=h(2)=1,

∴k≤1


【解析】(1)根据g(x)的单调性和最值列方程组解出a,b的值;(2)分离参数可得k≤( 2 +1,利用换元法求出右侧函数的最大值即可得出k的范围.
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点,需要掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能正确解答此题.

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