题目内容
((本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面是矩形.已知
.
(1)证明平面;
(2)求异面直线与所成的角的大小;
(3)求二面角的大小.
如图,在四棱锥中,底面是矩形.已知
.
(1)证明平面;
(2)求异面直线与所成的角的大小;
(3)求二面角的大小.
解:(1)证明:在中,由题设可得
于是. …… 2分
在矩形中,.又,
所以平面. ………… 4分
(2)解:由题设,,所以(或其补角)是异面直线与所成的角. … 5分
在中,由余弦定理得
……… 6分
由(1)知平面,平面,
所以,因而, ……… 7分
于是是直角三角形,故.
所以异面直线与所成的角的大小为.……… 8分
(3)解:过点P做于H,过点H做于E,连结PE
因为平面,平面,所以.又,
因而平面,故HE为PE在平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知,
,从而是二面角的平面角。……… 9分
由题设可得,
……… 10分
于是在中,
所以二面角的大小为. ……… 12分
于是. …… 2分
在矩形中,.又,
所以平面. ………… 4分
(2)解:由题设,,所以(或其补角)是异面直线与所成的角. … 5分
在中,由余弦定理得
……… 6分
由(1)知平面,平面,
所以,因而, ……… 7分
于是是直角三角形,故.
所以异面直线与所成的角的大小为.……… 8分
(3)解:过点P做于H,过点H做于E,连结PE
因为平面,平面,所以.又,
因而平面,故HE为PE在平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知,
,从而是二面角的平面角。……… 9分
由题设可得,
……… 10分
于是在中,
所以二面角的大小为. ……… 12分
略
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