题目内容
【题目】已知椭圆的离心率
,
分别是椭圆
的左、右焦点,过
的直线
与
相交于A,B两点,
的周长为
。
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线使
为直角,若存在求出此时直线
的方程;若不存在,请说明理由。
【答案】(1);(2)故不存在直线
使
为直角
【解析】
(1)由离心率为得a
c,由△F1AB周长为4
可求得a值,进而求得b值;
(2)联立直线和椭圆方程,转化为一元二次方程根与系数之间的关系,利用设而不求思想进行转化求解即可.
(1)∵椭圆离心率为,∴
,∴a
c,
又△F1AB周长为4,∴4a=4
,解得a
,∴c=1,b
,
∴椭圆C的标准方程为:;
(2)椭圆C的右焦点(1,0),
①当直线l斜率不存在时,直线l与椭圆C交于(,
).(1,
)两点,显然不存在满足条件的直线.
②当直线l斜率存在时,设直线l:y=kxk代入
,
消y得,(2+3k2)x2-6k2x+3k2﹣6=0,
由于直线l经过椭圆 C左焦点,所以直线l必定与椭圆C有两个交点,
则△>0恒成立
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2,x1x2
,
若为直角,则
0,即x1x2+y1y2=0 (*)
而y1y2=(kx1k)(kx2
k)=k2x1x2
k2(x1+x2)+k2,代入(*)式得,
(1+k2)x1x2k2(x1+x2)+k2=0,
即(1+k2)k2
k2=0,解得k2
,
所以不存在k使得为直角.
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