Question

【题目】已知y=f（x）是定义在（－∞，+∞）上的奇函数，且在［0，+∞）上为增函数，

（1）求证：函数在（－∞，0）上也是增函数；

（2）如果f（）=1，解不等式－1＜f（2x+1）≤0．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）{x｜－＜x≤－}．

【解析】

（1）设，且，根据单调性的定义，结合函数奇偶性，即可得证；

（2）根据是R上的奇函数，把，转化为，再结合函数的单调性，得到，即可求解.

（1）设x1、x2是（－∞，0］上任意两个不相等的实数，且x1＜x2，

则－x1，－x2∈［0，+∞），且－x1＞－x2，Δx=x2－x1＞0，Δy=f（x2）－f（x1）．

因为f（x）是奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，－x1＞－x2，

所以f（－x1）＞f（－x2）．

又因为f（x）为奇函数，所以f（－x1）=－f（x1），f（－x2）=－f（x2），

所以－f（x1）＞－f（x2），即f（x1）＜f（x2），

即Δy=f（x2）－f（x1）＞0，

所以函数f（x）在（－∞，0］上也是增函数．

（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，f（－）=－f（）=－1，

由－1＜f（2x+1）≤0，得f（－）＜f（2x+1）≤f（0）．

又因为f（x）在（－∞，0）上是增函数，所以－＜2x+1≤0，解得－＜x≤－，

所以不等式的解集为{x｜－＜x≤－}．