题目内容

2.设椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{1}{2}$,点M在椭圆C上,点M到椭圆C的两个焦点的距离之和是4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若椭圆C1的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1(m>n>0),椭圆C2的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.已知椭圆C2是椭圆C的3倍相似椭圆.若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于M,N两点,O为坐标原点,试研究当切线l变化时△OMN面积的变化情况,并给予证明.

分析 (Ⅰ)由椭圆的定义可得a=2,再由离心率公式和a,b,c的关系,即可得到b,进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)依题意,求得椭圆C2方程,当切线l的斜率存在时,设l的方程为:y=kx+m,代入椭圆C2方程,运用韦达定理和弦长公式,和点到直线的距离公式,结合面积公式,计算即可得到定值,讨论直线的斜率不存在,同样得到定值.

解答 解:(Ⅰ)依题意,2a=4,a=2,
∵$e=\frac{1}{2}$,∴c=1,b2=a2-c2=3,
∴椭圆C方程为:$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$;
(Ⅱ)依题意,椭圆C2方程为:$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=3,即\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$,
当切线l的斜率存在时,设l的方程为:y=kx+m,
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1\end{array}\right.$得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-36=0,
由△=0得m2=4k2+3,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{3+4{k^2}}},{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-36}}{{3+4{k^2}}}$,
即有$|{MN}|=\sqrt{1+{k^2}}•|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{4\sqrt{3(12{k^2}+9-{m^2})}}}{{3+4{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{4\sqrt{6}}}{|m|}$,
又点O到直线l的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$,
∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}•|{MN}|•d=2\sqrt{6}$,
当切线l的斜率不存在时,l的方程为$x=±2,|{MN}|=2\sqrt{6}$,${S_{△OMN}}=2\sqrt{6}$,
综上,当切线l变化时,△OMN的面积为定值$2\sqrt{6}$.

点评 本题考查椭圆的定义和方程及性质,主要考查椭圆方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,考查运算求解能力,属于中档题.

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