Question

14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的中心为O，右顶点为A，在线段OA上任意选定一点M（m，0）（0＜m＜2），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．
（Ⅰ）若椭圆C的长半轴为2，离心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（ⅱ）若m=1，点N在OM的延长线上，且|OM|，|OA|，|ON|成等比数列，试证明直线PN与C相切；
（Ⅱ）试猜想过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点G（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）的切线方程，再加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到椭圆方程；
（ⅱ）运用等比数列的性质，求得P，N的坐标，求出直线PN的方程，代入椭圆方程，计算判别式，即可得到直线PN与C相切；
（Ⅱ）在x轴上取点$N（\frac{a^2}{x_0}，0）$，连结GN，则直线GN为点G处的切线方程．设直线GN的方程为：$y=k（x-\frac{a^2}{x_0}）$，代入椭圆方程，计算判别式为0，即可得到切线方程．

解答 解：（Ⅰ）（ⅰ）因为$a=2，e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以a=2，c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
所以椭圆C的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（ⅱ）由已知条件得：|OM|=1，|OA|=2，
设P（1，y），则${y^2}=\frac{3}{2}$，所以$P（1，±\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$．
因为|OM|，|OA|，|ON|成等比数列，
所以|OA|²=|OM||ON|，即$|{ON}|=\frac{{{{|{OA}|}^2}}}{{|{OM}|}}=4$，所以N（4，0）．
直线PN的方程为：$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{6}（x-4）$代入椭圆$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
整理得：x²-2x+1=0．
因为△=4-4=0，
所以直线PN与C相切．
（Ⅱ）在x轴上取点$N（\frac{a^2}{x_0}，0）$，连结GN，则直线GN为点G处的切线方程．
证明：设直线GN的方程为：$y=k（x-\frac{a^2}{x_0}）$（其中$k=\frac{y_0}{{{x_0}-\frac{a^2}{x_0}}}=\frac{{{x_0}{y_0}}}{{x_0^2-{a^2}}}$），
把$y=k（x-\frac{a^2}{x_0}）$代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
整理得：$（{b^2}+{a^2}{k^2}）{x^2}-\frac{{2{a^4}{b^2}}}{x_0}x+\frac{{{a^6}{k^2}}}{x_0^2}-{a^2}{b^2}=0$，
判别式$△=（{a^4}-{a^2}x_0^2）{k^2}-{b^2}x_0^2$，…（1），
因为点G在椭圆C上，所以$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，…（2）
又$k=\frac{y_0}{{{x_0}-\frac{a^2}{x_0}}}=\frac{{{x_0}{y_0}}}{{x_0^2-{a^2}}}$，…（3）
把（2）（3）代入（1）得：
判别式$△=（{a^4}-{a^2}x_0^2）{（\frac{{{x_0}{y_0}}}{{x_0^2-{a^2}}}）^2}-{b^2}x_0^2=\frac{{x_0^2（{a^2}y_0^2+{b^2}x_0^2-{a^2}{b^2}）}}{{{a^2}-x_0^2}}=0$，
所以直线GN为所求的切线．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意直线方程和椭圆方程联立，运用判别式为0，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．