Question

12．已知O点在△ABC的内部，且$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 作出△ABC及O点，然后可作OD=4OC，并以OA，OD为邻边作平行四边形OAED，根据条件可得到$\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OB}$，从而得到$\overrightarrow{OE}=-2\overrightarrow{OB}$．可根据三角形的相似关系得到$\frac{ON}{EN}=\frac{1}{4}$，从而可得到$\frac{ON}{OE}=\frac{1}{5}$，这样便可得到$\frac{ON}{BN}=\frac{2}{7}$，最后便可求出△ABC的面积与△AOC的面积之比．

解答 解：如图所示：作OD=4OC，以OA，OD为邻边作平行四边形OAED，连接AD，OE，交于点M，OE交AC于点N；

∵$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OE}=-2\overrightarrow{OB}$；
∴$\frac{OC}{EA}=\frac{ON}{EN}=\frac{1}{4}$；
∴$\frac{ON}{OE}=\frac{1}{5}$；
∴$\frac{ON}{2OB}=\frac{1}{5}$；
∴$\frac{ON}{BN}=\frac{2}{7}$；
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOC}}=\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，相似三角形的比例关系，以及三角形的面积公式．