题目内容
16.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a,b,c满足b2=a2+c2-ac,若AC=2$\sqrt{3}$,则△ABC面积的最大值为( )A. | $\sqrt{3}$ | B. | 2$\sqrt{3}$ | C. | 3$\sqrt{3}$ | D. | 4$\sqrt{3}$ |
分析 由b与cosB的值,利用余弦定理列出关系式,利用基本不等式变形求出ac的最大值,利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,将ac的最大值代入即可求出三角形ABC面积的最大值.
解答 解:∵b2=a2+c2-ac,即a2+c2-b2=ac,
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,
∵B为三角形的内角,
∴B=$\frac{π}{3}$,sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵b=2$\sqrt{3}$,cosB=$\frac{1}{2}$,
∴由余弦定理得:12=b2=a2+c2-ac≥ac,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤3$\sqrt{3}$,
则△ABC面积的最大值为3$\sqrt{3}$.
故选:C.
点评 此题考查了余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式的运用,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
练习册系列答案
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5.如图,已知F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦点,P、Q在渐近线上,PQ的中垂线过点F,O是坐标原点,若∠PFQ=Rt∠,OQ=3OP,则双曲线的离心率等于( )
A. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B. | $\sqrt{5}$ | C. | $\frac{5}{4}$ | D. | $\frac{5}{3}$ |