题目内容

7.已知函数f(x)=|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|.
(1)求不等式f(x)≤3的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)<$\frac{1}{2}$|1-a|的解集是空集,求实数a的取值范围.

分析 (Ⅰ)利用绝对值的几何意义直接求不等式f(x)≤6的解集;
(Ⅱ)求出函数的最小值,然后求解关于x的不等式f(x)<$\frac{1}{2}$|1-a|的解集是空集,得到实数m的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)不等式f(x)≤3,即|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≤3.
不等式的几何意义,是数轴是的点x,到$-\frac{1}{2}$与$\frac{3}{2}$的距离之和不大于3,
∴-1≤x≤2,
不等式的解集为{x|-1≤x≤2};
(Ⅱ)函数f(x)=|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|.
由绝对值的几何意义可知:f(x)min≥2,
关于x的不等式f(x)<$\frac{1}{2}$|1-a|的解集非空,
只须:2<$\frac{1}{2}$|1-a|,解得a<-3或a>5.
关于x的不等式f(x)<$\frac{1}{2}$|1-a|的解集是空集,可得-3≤a≤5.

点评 本题考查带绝对值的函数的应用,绝对值不等式的解法,绝对值的几何意义是解题的关键.

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