Question

7．已知函数f（x）=|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|．
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$|1-a|的解集是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值的几何意义直接求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）求出函数的最小值，然后求解关于x的不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$|1-a|的解集是空集，得到实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，即|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≤3．
不等式的几何意义，是数轴是的点x，到$-\frac{1}{2}$与$\frac{3}{2}$的距离之和不大于3，
∴-1≤x≤2，
不等式的解集为{x|-1≤x≤2}；
（Ⅱ）函数f（x）=|x+$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|．
由绝对值的几何意义可知：f（x）_min≥2，
关于x的不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$|1-a|的解集非空，
只须：2＜$\frac{1}{2}$|1-a|，解得a＜-3或a＞5．
关于x的不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$|1-a|的解集是空集，可得-3≤a≤5．

点评 本题考查带绝对值的函数的应用，绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义是解题的关键．