题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，点
，直线l：
，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上．
过点A作圆C的切线AP且P为切点，当切线AP最短时，求圆C的标准方程；
若圆C上存在点M，使
，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】
根据题意，分析可得要使切线AP最短，则只要线段AC最短，又圆心C在直线l上，分析可得直线AC的方程，求出两直线的交点，即可得圆心的坐标，从而得到答案；
设
，由
得
，化简整理成
，分析可得两圆必有交点；据此可得
，解可得x的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，点A作圆C的切线AP且P为切点，则
，
则要使切线AP最短，则只要线段AC最短，
又圆心C在直线l上，所以直线AC与l垂直，直线AC的方程为：
，
由和
得C的坐标为
；
故所求圆C的标准方程为；
动圆C的坐标为
，半径为1
设，则由得
化简整理成，
点M在以
为圆心2为半径的圆上，又点M在圆C上，
所以两圆必有交点；
故有解得
所以圆心C的横坐标a的取值范围为．
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