题目内容
【题目】已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),点R(1,2)在抛物线C上.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A,B.若直线AR,BR分别交直线l:y=2x+2于M,N两点,求线段MN最小时直线AB的方程.
【答案】
(1)解:∵点R(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,
∴4=2p,解得p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x
(2)解:设A(x1,y1),B(x2y2),直线AB的方程为x=m(y﹣1)+1,m≠0,
由 ,消去x,并整理,得:y2﹣4my+4(m﹣1)=0,
∴y1+y2=4m,y1y2=4(m﹣1),
设直线AR的方程为y=k1(x﹣1)+2,
由 ,解得点M的横坐标xM=
,
又k1= =
,
∴xM= =﹣
,
同理点N的横坐标xN=﹣ ,
|y2﹣y1|= =4
,
∴|MN|=|xM﹣xN|= |﹣
+
|=2
|
|,
=8
=2
,
令m﹣1=t,t≠0,则m=t=1,
∴|MN|=2
≥
,
即当t=﹣2,m=﹣1时,|MN|取最小值为 ,
此时直线AB的方程为x+y﹣2=0
【解析】(1)由点R(1,2)在抛物线C:y2=px(p>0)上,求出p=2,由此能求出抛物线C的方程.(2)设A(x1 , y1),B(x2y2),设直线AB的方程为x=m(y﹣1)+1,m≠0,设直线AR的方程为y=k1(x﹣1)+2,由已知条件推导出xM=﹣ ,xN=﹣
,由此求出|MN|=2
,再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程.
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