题目内容
【题目】已知函数
(1)若在区间
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)若在区间上,函数
的图象恒在曲线
下方,求
的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】分析:(1)在区间
上单调递增,则
在区间
上恒成立,即
,而当
时,
,故
,从而可得结果;(2) 令
,在区间
上,函数
的图象恒在曲线
下方等价于
在区间
上恒成立,利用导数研究函数的单调性,利用单调性求得函数的最大值,可证明
时不合题意, 当
时,只需
,从而可得结果.
详解:(1)在区间
上单调递增,
则在区间
上恒成立.
即,而当
时,
,故
.
所以.
(2)令,定义域为
.
在区间上,函数
的图象恒在曲线
下方等价于
在区间
上恒成立.
①若,令
,得极值点
,
当,即
时,在
上有
,此时
在区间
上是增函数,并且在区间上有
,不合题意;
当,即
时,同理可知,
在区间
上递增,
有,也不合题意;
②若,则有
,此时在区间
上恒有
,从而
在区间
上是减函数;
要使在此区间上恒成立,只须满足
,由此求得
的范围是
.
综合①②可知,当时,函数
的图象恒在直线
下方.
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