Question

【题目】已知函数f（x）＝ax2ex﹣1（a≠0）.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）已知a＞0且x∈[1，+∞），若函数f（x）没有零点，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），单调递减区间为（﹣2,0）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣2,0），单调递减区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；（2）.

【解析】

（1）先求导f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），再分a＞0和a＜0进行讨论即可得解；

（2）根据（1）可知，当a＞0时， f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，则保证f（1）＞0即可得解.

（1）f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），

令f'（x）＝0，则x＝0或x＝﹣2，

①若a＞0，

当x＜﹣2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当﹣2＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

②若a＜0，

当x＜﹣2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当﹣2＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；

当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.

（2）当a＞0时，由（1）可知，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，

若函数没有零点，则f（1）＝ae﹣1＞0，解得，

故a的取值范围为.