题目内容
【题目】《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵
中,
.
(1)求证:四棱锥
为阳马;
(2)若
,当鳖膈
体积最大时,求锐二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
.
【解析】
(1)按照题目定义，只要证明
面
即可，而由
，
即可证出面；
(2)先根据基本不等式求出当
时，鳖膈
体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角
的余弦值．
(1)∵
底面
，
面
∴
又，
∴面，
又四边形为矩形
∴四棱锥
为阳马．
(2)∵，
，∴
又∵底面，
∴
当且仅当时，
取最大值
∵，底面
∴以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系
，
，
，
，
设面
的一个法向量
由
得
同理得
∴
二面角的余弦值为．
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