题目内容
【题目】《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,
.
(1)求证:四棱锥为阳马;
(2)若,当鳖膈
体积最大时,求锐二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)按照题目定义,只要证明面
即可,而由
,
即可证出
面
;
(2)先根据基本不等式求出当时,鳖膈
体积最大,然后建立如图所示的空间直角坐标系,根据向量法即可求出锐二面角
的余弦值.
(1)∵底面
,
面
∴
又,
∴面
,
又四边形为矩形
∴四棱锥为阳马.
(2)∵,
,∴
又∵底面
,
∴
当且仅当时,
取最大值
∵,
底面
∴以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系
,
,
,
,
设面的一个法向量
由得
同理得
∴
二面角的余弦值为
.
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