题目内容

10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,D,E分别是AA1、B1C1的中点.
(1)求证:BD⊥平面ACE;
(2)求点E到平面BCD的距离.

分析 (1)建立如图所示的坐标系,证明$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=0,$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AE}$=0,可得BD⊥AC,BD⊥AE,即可证明BD⊥平面ACE;
(2)求出平面BCD的法向量,再求点E到平面BCD的距离.

解答 (1)证明:建立如图所示的坐标系,则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1),E(1,1,2),
∴$\overrightarrow{BD}$=(0,-2,1),$\overrightarrow{AC}$=(2,0,0),$\overrightarrow{AE}$=(1,1,2),
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=0,$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AE}$=0,
∴BD⊥AC,BD⊥AE,
∵AC∩AE=A,
∴BD⊥平面ACE;
(2)解:设平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),则
∵$\overrightarrow{BD}$=(0,-2,1),$\overrightarrow{BC}$=(2,-2,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2y+z=0}\\{2x-2y=0}\end{array}\right.$,
∴$\overrightarrow{n}$=(1,1,2),
∵$\overrightarrow{BE}$=(1,-1,2),
∴点E到平面BCD的距离为$\frac{1-1+4}{\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

点评 本题给出直三棱柱,求证线面垂直并求点到平面的距离.着重考查了空间线面垂直的判定与性质,及其应用等知识,正确运用向量法是关键,属于中档题.

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