题目内容
12．已知f（x）=ax-lnx，a∈R（Ⅰ）若f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若存在正实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是2，求出a的值．
分析 （I）由f（x）在x=1处有极值，可得f′（1）=0，解得a，可得f（x），解出f′（x）＞0，即可得出f（x）的单调递增区间．
（II）由f′（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$，存在正实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是2，对a分类讨论，利用单调性即可得出a的取值．
解答 解：（I）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$（x＞0），
∵f（x）在x=1处有极值，
∴f′（1）=a-1=0，解得a=1，
经过检验，a=1时，f（x）在x=1处有极值，
∴a=1．
∴f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得x＞1，
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．
（II）由f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
∵存在正实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是2，
当$\frac{1}{a}≥e$时，f′（x）≤0，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减，由f（e）=ae-1=2，解得a=$\frac{3}{e}$，不满足条件，舍去；
当$0＜\frac{1}{a}＜e$时，则f（x）在区间$（0，\frac{1}{a}）$上单调递减，在区间$（\frac{1}{a}，e）$上单调递增．
∴当x=$\frac{1}{a}$时取得极小值即最小值，∴$f（\frac{1}{a}）$=1+lna=2，解得a=e，满足条件．
综上可得：当a=e时，使f（x）在区间（0，e]的最小值是2．
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
2．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（ ）
| A． | f（x1）＜0，f（x2）＜-$\frac{1}{2}$ | B． | f（x1）＞0，f（x2）＞-$\frac{1}{2}$ | C． | f（x1）＜0，f（x2）＞-$\frac{1}{2}$ | D． | f（x1）＞0，f（x2）＜-$\frac{1}{2}$ |
如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥底面 ABCD，E在棱PD上，且AE⊥PD．
如图，已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD=4，E为侧棱SC的中点．
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=$\sqrt{3}$，AD1=$\sqrt{5}$，AB1=$\sqrt{7}$，则长方体的对角线AC1长等于3．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥BD，且BC∥平面PAD．