题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若曲线与
在点
处有相同的切线,求函数
的极值;
(2)若,讨论函数
的单调性.
【答案】(1)的极大值
,极小值为
;(2)
时,
的单调增区间为
,单调减区间为
;
时,
的单调增区间为
,
,单调减区间为
;
时,
的单调增区间为
,没有减区间;
时,
的单调增区间为
,
,单调减区间为
.
【解析】
(1)对函数,
分别求导,根据曲线
与
在点
处有相同的切线,可知
,解得
,从而得到
,求
,判断导数的正负,求极值,即可.
(2)先求的定义域,求导数
,对
进行分类讨论,求解即可.
(1),
,
,
由题意知,∴
,
∴
∴,
∴
∴或
时,
,
时,
,
∴在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数,
∴的极大值
,极小值为
.
(2)的定义域为
,
,
当时,∵
,∴
.
∴时,
,
时,
,
当时,
的解集为
,
解集为
,
当时,
,当
时取等号,
当时,
解集为
,
解集为
,
∴时,
的单调增区间为
,单调减区间为
,
时,
的单调增区间为
,
,单调减区间为
,
时,
的单调增区间为
,没有减区间,
时,
的单调增区间为
,
,单调减区间为
.

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