Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的正方形，PO⊥底面ABCD，E为BC边的中点，PE⊥PA．
（1）求证：平面PAE⊥平面PAD；
（2）求直线AC与平面PAD所成的角．

Answer 1

分析 （1）连接DE，证得△PDE≌△PAE，由线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）可设正方形的边长为2，PA=x，由线面垂直的性质和勾股定理，可得x，设C到平面PAD的距离为d，运用等积法，可得d，再由线面所成的角的正弦，可得所成的角．

解答 （1）证明：连接DE，
由DE=AE，PD=PA，PE=PE，
可得△PDE≌△PAE，
由PE⊥PA，可得PE⊥PD，
PA∩PD=P，
可得PE⊥平面PAD，
PE?平面PAE，
可得平面PAE⊥平面PAD；
（2）解：可设正方形的边长为2，PA=x，
则PE=$\sqrt{A{E}^{2}-P{A}^{2}}$=$\sqrt{5-{x}^{2}}$，
又PE=$\sqrt{P{B}^{2}-1}$=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
解得x=$\sqrt{3}$，
△PAD的面积为$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
设C到平面PAD的距离为d，
则V_P-ACD=V_C-PAD，
即有$\frac{1}{3}$×1×$\frac{1}{2}$×4=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$d，
解得d=$\sqrt{2}$，
又AC=2$\sqrt{2}$，
即有直线AC与平面PAD所成的角的正弦为$\frac{d}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
则直线AC与平面PAD所成的角为30°．

点评 本题考查面面垂直的判定和直线和平面所成角的求法，考查空间直线和平面的位置关系，考查运算能力和推理能力，属于中档题．