题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=4an﹣3(n∈N*).
(Ⅰ)证明:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.
【答案】解:(Ⅰ)证明:由Sn=4an﹣3,n=1时,a1=4a1﹣3,解得a1=1. 因为Sn=4an﹣3,则Sn﹣1=4an﹣1﹣3(n≥2),
所以当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=4an﹣4an﹣1 ,
整理得 .又a1=1≠0,
所以{an}是首项为1,公比为 的等比数列.
(Ⅱ)解:因为 ,
由bn+1=an+bn(n∈N*),得 .
可得bn=b1+(b2﹣b′1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1)
= ,(n≥2).
当n=1时上式也满足条件.
所以数列{bn}的通项公式为
【解析】(Ⅰ)要证明数列为等比数列,只需证明数列的后一项比前一项为常数即可,先根据当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1 , 求出数列{an}的递推关系式,再求 ,得道常数,即可证明.(Ⅱ)先根据(Ⅰ)求数列{an}的递推公式,代入bn+1=an+bn(n∈N*),可得数列{bn}的递推公式,再用迭代法,即可求出数列{bn}的通项公式.
【考点精析】关于本题考查的等比关系的确定和数列的通项公式,需要了解等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案.
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