Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=1，E，F分别是CC1 ， BC的中点．
（Ⅰ）求证：B1F⊥平面AEF；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣AB1F的体积．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）由条件知AF⊥平面CCBB1 ， ∴AF⊥B1F， 由∠BAC=90°，且AB=AA1=1，得 ，EF= ， ，
∴ ，即B1F⊥EF，又∵EF∩AF=F，
∴B1F⊥平面AEF；
（Ⅱ）解：由已知可得，AF= ，且由（Ⅰ）知AF⊥FE，
∴ ，
∴ ．

【解析】（Ⅰ）证明AF⊥B1F，B1F⊥EF，然后证明B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B1F⊥平面AEF，然后利用等积法求得三棱锥E﹣AB1F的体积．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．