题目内容
【题目】如图，在多面体
中，
，四边形
和四边形
是两个全等的等腰梯形.
（1）求证：四边形
为矩形；
（2）若平面
平面，
，
，
，求平面
与平面
所成二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由梯形性质可得四边形
为平行四边形，即可得
.又可证明
平面
，而
且
，即可得
，从而四边形为矩形.
（2）分别取
的中点
，可得
，
，
，因而以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并分别求得平面
和平面
的法向量，即可由空间向量的数量积求得两个平面所成二面角的余弦值.
（1）证明：分别取
的中点
，如下图所示：
∵四边形
和四边形
是两个全等的等腰梯形
，
∴四边形为平行四边形
，
为
的中点
，同理
为的中点，
为
的中点
，且
四点共面，四边形以
为底的梯形
，
且
相交
平面
平面
又
∴四边形为矩形.
（2）分别取的中点，则，，
由
，可知
，
同理
，
又由平面
平面，平面
平面
，
平面，所以
平面
又
平面，
所以，
则以为坐标原点，
方向分别为
轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量为
，
由
，
则
，
令
，代入可求得
，所以
，
设平面的法向量为
，
由
，
，
则
令
，代入可求得
，所以
，
则
由图可知平面与平面所成二面角为锐二面角.
故
.
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