Question

13．关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{xcosθ+ysinθ=2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$（θ∈[0，π]）有解，则θ的取值范围是$[0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π]$．

Answer 1

分析 原点O（0，0）到直线xcosθ+ysinθ=2的距离d=2，可得：直线xcosθ+ysinθ=2是圆：x²+y²=4的切线，（y≥0）．方程x²+3y²=6，化为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．由圆的性质可得：$xcos\frac{π}{4}+ysin\frac{π}{4}=2$，$xcos\frac{3π}{4}$+y$sin\frac{3π}{4}$=2，为半圆的x²+y²=4（y≥0）的切线．同时可得：上述两条直线也为椭圆的切线．结合图象及其斜率的意义即可得出．

解答 解：∵原点O（0，0）到直线xcosθ+ysinθ=2的距离d=$\frac{|0-2|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=2，
∴直线xcosθ+ysinθ=2是圆：x²+y²=4的切线，（y≥0）．
方程x²+3y²=6，化为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
由圆的性质可得：$xcos\frac{π}{4}+ysin\frac{π}{4}=2$，$xcos\frac{3π}{4}$+y$sin\frac{3π}{4}$=2，为半圆的x²+y²=4的切线．
同时可得：上述两条直线也为椭圆的切线．
因此可得：当θ∈$[0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π]$时，直线与椭圆有交点，即方程组有解．
故答案为：$[0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π]$．

点评 本题考查了曲线的切线、直线与曲线相交问题、斜率的意义，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．