Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{2}{3}$ax³，函数g（x）=f（x）+2e^x（x-1），函数g（x）的导函数为g′（x）．
（1）当函数y=f（x）在区间（1，+∞）时为减函数，求a的范围；
（2）若a=e（e为自然对数的底数），
①求函数g（x）的单调区间；
②证明：g′（x）≥1+lnx．

Answer 1

分析 （1）求导得f′（x）=x-2ax²=x（-2ax+1），利用直线的性质，求a的范围．
（2）①求导，得g′（x）=x（1-2ex+2e^x），只需判断后一表达式的正负．一般都是构造函数，利用求极值的方法判断．
②把恒成立问题转化为最值问题，通过求导，判断函数的极值，求出最值．

解答 解：（1）由函数y=f（x）在区间（1，+∞）时为减函数
∴f′（x）=x-2ax²=x（-2ax+1）≤0  x∈（1，+∞）
∴a＞0且-2a×1+1≤0
∴a≥$\frac{1}{2}$
（2）①g（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{2}{3}$ex³+2e^x（x-1）
∴g′（x）=x（1-2ex+2e^x）
令h（x）=1-2ex+2e^x
h′（x）=-2e+2e^x=2（e^x-e）
当x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增
∴h（x）≥h（1）=1＞0
∴当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）递增
当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减
②x（1-2ex+2e^x）≥1+lnx   x＞0
∴1-2ex+2e^x≥$\frac{1+lnx}{x}$
只需证$\frac{1+lnx}{x}$≤1
令M（x）=$\frac{1+lnx}{x}$
∴M′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$
当x∈（0，1），M′（x）＞0，M（x）递增
当x∈（1，∞），M′（x）＜0，M（x）递减
∴M（x）≤M（1）=1
∴1-2ex+2e^x≥$\frac{1+lnx}{x}$
故g′（x）≥1+lnx．

点评 考察了复合函数的求导，极值的判定，恒成立问题．