Question

已知函数
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数单调增区间；
(3)若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.

Answer 1

(1)  (2) 单调增区间为 (3)

试题分析：⑴因为函数，
所以，，
又因为，所以函数在点处的切线方程为．
⑵由⑴，．
因为当时，总有在上是增函数，
又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为．
⑶因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可．
又因为，，的变化情况如下表所示：

	减函数	极小值	增函数

 
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即．
所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．
综上可知，所求的取值范围为．
点评：第一问主要利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率；第二问求单调增区间主要是通过导数大于零；第三问的不等式恒成立转化为求函数最值，这是函数题经常用到的转化方法，本题第三问有一定的难度