题目内容

已知函数
(1)若对任意的实数a,函数的图象在x = x0处的切线斜率总想等,求x0的值;
(2)若a > 0,对任意x > 0不等式恒成立,求实数a的取值范围。
(1)a-1(2)

试题分析:解:(Ⅰ)恒成立,恒成立即.  
方法一:恒成立,则
而当时,
单调递增,
 在单调递减,
,符合题意.
恒成立,实数的取值范围为
方法二:
(1)当时,单调递减,
单调递增,
,不符题意;
(2)当时,
①若单调递减;当 单调递增,则,矛盾,不符题意;
②若
(Ⅰ)若
单调递减,单调递增,单调递减,不符合题意;
(Ⅱ)若时,单调递减,,不符合题意.
(Ⅲ)若单调递减,在单调递增,在单调递减,,与已知矛盾不符题意.
(Ⅳ)若单调递增;
单调递减,
,符合题意;
综上,得恒成立,实数的取值范围为
(Ⅱ) 由(I)知,当时,有;于是有 .
则当时,有
在上式中,用代换,可得
相乘得
点评:解决的关键是借助于导数的符号来判定函数的单调性,以及函数的最值,进而证明不等式,属于基础题。
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