Question

已知定点A(-2，-4)，过点A作倾斜角为45 的直线l，交抛物线y2＝2px(p＞0)于B、C两点，且|BC|＝210.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) y2＝2x.  (Ⅱ)   见解析
(Ⅰ)直线l方程为y＝x－2，将其代入y2＝2px，并整理，得
x2－2(2＋p)x＋4＝0…①，∵p＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0，
设B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1＋x2＝4＋2p，x1·x2＝4，∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k2|x1－x2|，
∴22p2＋4p＝210，解得p＝1，∴抛物线方程y2＝2x．
(Ⅱ)假设在抛物线y2＝2x上存在点D(x3,y3)，使得|DB|＝|DC|成立，
记线段BC中点为E(x0,y0)，则|DB|＝|DC| DE⊥BC kDE＝－1k1＝－1，
当p＝1时，①式成为x2－6x＋4＝0，∴x0＝x1＋x22＝3，y0＝x0－2＝1，
∴点D(x3,y3)应满足   y23＝2x3y3－1x3－3＝－1，解得  x3＝2y3＝2或  x3＝8y3＝－4．
∴存在点D(2，2)或(8，－4)，使得|DB|＝|DC|成立．