Question

已知定点A(-2，

3

)，F是椭圆

x2

16

+

y2

12

=1的右焦点，M是椭圆上一点，满足|AM|+2|MF|的值最小，则点M的坐标和|AM|+2|MF|的最小值分别为（　　）

• A．(2

  3

  ，

  3

  )，6
• B．(2，

  3

  )，10
• C．(2

  3

  ，

  3

  )，10
• D．(2，

  3

  )，6

Answer 1

分析：利用圆锥曲线的统一定义

|MF|

|MN|

=e=

1

2

，结合题意化简得|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|，根据平面几何性质得当A、M、N共线于垂直于右准线的一条直线上时，|AM|+2|MF|取得最小值，由此即可算出答案．

解答：解：∵椭圆

x2

16

+

y2

12

=1中，a=4，b=2

3

∴c=

a2-b2

=2，离心率e=

c

a

=

1

2

，
记点M（m，n）到右准线的距离为|MN|，
则根据圆锥曲线的统一定义，得

|MF|

|MN|

=e=

1

2

，
可得|MN|=2|MF|，从而得到|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|，
由此可得：当A，M，N同时在垂直于右准线的一条直线上时，
|AM|+2|MF|取得最小值，此时M的纵坐标与A点相等，
即n=

3

，代入到椭圆方程，解得m=±2，
而点M在第一象限，可得M（2

3

，

3

），
由椭圆的准线方程为x=

a2

c

=8，可得|AM|+2|MF|的最小值为8-（-2）=10
故选：C

点评：本题给出定点A和焦点为F的椭圆上的动点M，求|AM|+2|MF|的最小值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、圆锥曲线的统一定义等知识，属于中档题．