Question

7．已知关于x的不等式|x-3|+|x-5|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．
（Ⅰ）求t；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c=max{$\frac{1}{a}$，$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{tb}$}，求证：c≥1．注：maxA表示数集A中的最大数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值不等式的意义求出|x-3|+|x-5|的最小值即可求出t；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c=max{$\frac{1}{a}$，$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2b}$}，根据基本不等式的性质求出即可．

解答 解：（Ⅰ）|x-3|+|x-5|≥|（x-3）-（x-5）|=2，
当且仅当3≤x≤5时取等号，
故m≥2即t=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c=max{$\frac{1}{a}$，$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2b}$}，
则c²≥$\frac{1}{a}$•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2b}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2ab}$≥1，
当且仅当$\frac{1}{a}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2ab}$=1即a=b=1时“=”成立，
∵c＞0，∴c≥1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．