Question

19．定义$a⊕b=\left\{\begin{array}{l}ab（ab≥0）\\ \frac{a}{b}（ab＜0）\end{array}\right.$，设函数f（x）=lnx⊕x，若数列{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₁₀₀₈=1，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）=a₂₀₁₆，则a₂₀₁₆=e．

Answer 1

分析 f（x）=lnx⊕x=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x≥1}\\{\frac{lnx}{x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$．由${a}_{1}{q}^{1007}$=a₁₀₀₈=1，q＞0，可得a₁＞0．当q＞1时，0＜a₁＜1，可得数列{a_n}是单调递增数列，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）=$\frac{ln{a}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{ln{a}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{ln{a}_{1008}}{{a}_{1008}}$+a₁₀₀₉lna₁₀₀₉+…+a₂₀₁₆lna₂₀₁₆=a₂₀₁₆，由于a_ka_2016-k=${a}_{1008}^{2}$=1，（1≤k≤1007，k∈N^*），可得$\frac{ln{a}_{k}}{{a}_{k}}$+a_2016-kln（a_2016-k）=0，于是可得：a₂₀₁₆lna₂₀₁₆=a₂₀₁₆，即可得出．当q＜1时，0＜a₁＜1，数列{a_n}是单调递减数列，同理可得．

解答 解：f（x）=lnx⊕x=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x≥1}\\{\frac{lnx}{x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$．
由${a}_{1}{q}^{1007}$=a₁₀₀₈=1，q＞0，
可得a₁＞0，
当q＞1时，0＜a₁＜1，∴数列{a_n}是单调递增数列，因此a₁＜a₂＜…＜a₁₀₀₈=1＜a₁₀₀₉＜…＜a₂₀₁₆，
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₅）+f（a₂₀₁₆）=$\frac{ln{a}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{ln{a}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{ln{a}_{1008}}{{a}_{1008}}$+a₁₀₀₉lna₁₀₀₉+…+a₂₀₁₆lna₂₀₁₆=a₂₀₁₆，（*）
∵a_ka_2016-k=${a}_{1008}^{2}$=1，（1≤k≤1007，k∈N^*），
∴$\frac{ln{a}_{k}}{{a}_{k}}$+a_2016-kln（a_2016-k）=0，
∴（*）化为：a₂₀₁₆lna₂₀₁₆=a₂₀₁₆，
解得a₂₀₁₆=e．
当q＜1时，0＜a₁＜1，∴数列{a_n}是单调递减数列，因此a₁＞a₂＞…＞a₁₀₀₈=1＞a₁₀₀₉＞…＞a₂₀₁₆，同理可得：a₂₀₁₆=e．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．