Question

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²-c²=2b且tanA=3tanC，则b=4．

Answer 1

分析 已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到关系式，把第一个等式代入求出b的值即可．

解答 解：∵tanA=3tanC，
∴$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{3sinC}{cosC}$，即$\frac{sinA}{3sinC}$=$\frac{cosA}{cosC}$，
∴$\frac{a}{3c}$=$\frac{\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}}$，
整理得：b²=2（a²-c²），
∵a²-c²=2b，
∴b²=4b，
解得：b=4或b=0（舍去），
则b=4．
故答案为：4

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．