Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB，PA⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用中点得到△BCE为正三角形，进一步利用勾股定理的逆定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证得：线面垂直．最后转化成面面垂直．
（Ⅱ）首先作出直线与平面的夹角的平面角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．

解答 （Ⅰ）证明：取AB的中点，连接CE，则由题意知：△BCE为正三角形，
所以：∠ABC=60°，
由等腰梯形知：∠BCD=120°，设AD=CD=BC=2，则：AB=4，BD=2$\sqrt{3}$，
故：AD²+BD²=AB²，即得：∠ADB=90°，
所以：AD⊥BD，
又因为：PA⊥平面ABCD，
所以：PA⊥BD，
则：BD⊥平面PAD，且BC?平面PBD，
所以：平面PBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）在平面ABCD中，过点C作CH∥BD交AD的延长线于点H，
由（Ⅰ）知：BD⊥平面PAD，所以：CH⊥平面PAD，连接PH，
则：∠CPH即为所求的角．
在Rt△CHD中，CD=2，∠CDH=60°，
所以：CH=$\sqrt{3}$，
在Rt△PHC中，PC=$\sqrt{{PA}^{2}+{AC}^{2}}=2\sqrt{7}$，
所以：在Rt△PHC中，sin∠CPH=$\frac{CH}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$．
即：直线PC与平面PAD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查的知识要点：勾股定理逆定理的应用，现面向垂直的判定和性质定理的应用，面面垂直的判定定理的应用，线面的夹角的应用．主要考查学生的空间想象能力和应用能力．