Question

底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，E是侧棱AA₁的中点，F是正方形ABCD的中心，则直线EF被球O所截得的线段长为

42

3

．

Answer 1

分析：由题意可知正方体的体对角线计算球的直径，求出对角线的长可得球的直径，求出半径．再利用勾股定理推导出EF=

6

2

，球心O到EF的距离为

3

3

，由此能求出结果．

解答：解：∵底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，
∴球O的半径R=

1+1+4

2

=

6

2

，
由已知所求EF是正方体在球中其中一个截面的直径，
∵OQ=

1

2

，EQ=

1

2

，∴OE=

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∵AF=

1

2

AC=

2

2

，∴EF=

1+ 1 2

=

6

2

，
由球心O、E、F构成的△OEF中，
OF=

( 6 2 )2-( 2 2 )2

=1，
设球心O到EF的距离为d，则

1

2

×OE×OF=

1

2

×EF×d，
∴d=

1 2 × 2 2 ×1

1 2 × 6 2

=

3

3

．
所以直线EF被球O所截得的线段长=

( 6 2 )2-( 3 3 )2

×2=

42

3

．
故答案为：

42

3

．

点评：本题考查正方体的外接球，球的表面积的计算，球的截面知识，考查计算能力，空间想象能力，正确利用条件求解直线EF被球O截得的线段长，是本题的难点，结合图形直观，易于解题．