Question

正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为

3

．从正四棱柱的12条棱中任取两条，设η为随机变量，当两条棱相交时，记η=0；当两条棱平行时，η的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，记η=3．
（1）求概率p（η=0）；
（2）求η的分布列，并求其数学期望Eη．

Answer 1

分析：（1）求出两条棱相交时，相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．
（2）求出两条棱平行且距离是

3

的有4对，距离是2的有4对，距离是

2

的有2对，距离为1的共有8对，两条棱为异面的共有24对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望．

解答：解：（1）若两条棱相交，则交点必为正四棱柱8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，共有8C

2 3

=24对相对棱．
所以P（η=0）=

8 C 2 3

C 2 12

=

4

11

，即任取两条棱相交的概率为

4

11

．（5分）
（2）若两条棱平行时，则它们的距离有4种，分别是：距离是

3

的有4对，距离是2的有4对，距离是

2

的有2对，距离为1的共有8对，两条棱为异面的共有24对，于是
P（η=

3

）=

4

C 2 12

=

2

33

，P（η=2）=

4

C 2 12

=

2

33

，P（η=

2

）=

2

C 2 12

=

1

33

，P（η=1）=

8

C 2 12

=

4

33

，
P（η=3）=

4

11

．
随机变量η的分布列是：

η	0	1	2	3	2	3
P	4 11	4 33	1 33	2 33	2 33	4 11

（10分）
所以数学期望E（ξ）=0×

4

11

+1×

4

33

+

2

×

1

33

+

3

×

2

33

+2×

2

33

+3×

4

11

=

44+ 2 +2 3

33

．（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键．