Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别CC₁、DD₁、AA₁中点．
①求证：A₁F⊥面BEF；②求证：GC₁∥面BEF；③求直线A₁B与面BEF所成的角．

Answer 1

分析：①先根据条件得到EF⊥A₁F；再结合边长之间的关系得到A₁F⊥AF即可证：A₁F⊥面BEF；
②先证四边形GAEC₁为平行四边形即可得到GC₁∥面BEF；
③结合第一问的结论求∠A₁BF即可得到答案．

解答：解：①∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁；
∴CD⊥平面ADD₁A₁；
又E、F、G分别CC₁、DD₁、AA₁中点．
∴EF

∥ .

.

CD

∥ .

.

AB⇒E，F，A，B四点共面，且EF⊥平面ADD₁A₁，
所以EF⊥A₁F    （1）；
而GF=

1

2

AA₁，所以三角形AA₁F为直角三角形且A₁F⊥AF    （2）
且AF∩EF=F⇒A₁F⊥面AEF；
又由上得E，F，A，B四点共面
∴A₁F⊥面BEF；
②∵GA=

1

2

AA₁，C₁E=

1

2

CC₁；
∴GA

∥ .

.

C₁E，所以四边形GAEC₁为平行四边形，⇒GC₁∥AE
又因为GC₁不在平面BEF内，又由上得E，F，A，B四点共面
而AE在平面BEF内；
∴GC₁∥面BEF；
③∵A₁F⊥面BEF
∴∠A₁BF即为直线A₁B与面BEF所成的角，
在直角三角形A₁BF中
A₁B=

AB2+AA 12

=

5

，A₁F=

AG2+GF2

=

2

，
∴sin∠A₁BF=

A1F

A1B

=

2

5

=

10

5

⇒∠A₁BF=arcsin

10

5

．
即直线A₁B与面BEF所成的角为arcsin

10

5

．

点评：本题主要考察线面垂直，线面平行的证明以及直线与平面所成的角．解决线面平行的常用方法是转化为线线平行．