Question

【题目】已知函数（其中，为自然对数的底数，）.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）证明：当时，函数有两个零点，且.

Answer 1

【答案】(1) 函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；(2)详见解析

【解析】

（1）求函数导数，令得或，即可写出函数的单调区间（2）当时，分析函数的单调性知为函数的极小值点且，，可知函数有两个零点，且可得，，可得，再构造函数，利用其增减性证明.

(1)

令得或

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为

（2）当时，恒成立，

所以在递减，在递增

则为函数极小值点

又因为对于恒成立

对于恒成立

对于恒成立

所以当时，有一个零点，当时，有一个零点

即，

且，

所以

下面再证明即证

由得

又在上递减，于是只需证明，

即证明

将代入得

令

则

因为为上的减函数，且

所以在上恒成立

于是为上的减函数，即

所以，即成立

综上所述，