Question

【题目】已知函数f（x）=x3的图象为曲线C，给出以下四个命题： ①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；
②对于曲线C上任意一点P（x1 ， y1）（x1≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x2 ， y2），使x1和x2的等差中项是同一个常数；
③设函数g（x）=|f（x）﹣2sin2x|，则g（x）的最小值是0；
④若f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，则a的最大值是1．
其中真命题的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①若点M在曲线C上，过点M的切线斜率只有一个，所以过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条，故正确； ②函数f（x）=x3是奇函数，图象关于原点对称，所以对于曲线C上任意一点P（x1 ， y1）（x1≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x2 ， y2），使x1和x2的等差中项是同一个常数0，故正确；
③设函数g（x）=|f（x）﹣2sin2x|=|x3﹣2sin2x|是偶函数，且g（0）=0，则g（x）的最小值是0；
④f（x+a）≤8f（x）即（x+a）3≤8a3 ， ∴x+a≤2a，∴x≤a
∵f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，
∴a≥2，∴a的最小值是2，故不正确．
故选：C．